Правильно: заботиться о своей собственной шкуре
Неправильно:
заботится о своей собственной шкуре, заботиться о своей собственой шкуре
Правильно: заботиться о своей собственной шкуре
Неправильно:
заботится о своей собственной шкуре, заботиться о своей собственой шкуре